Croissance bactérienne : grandeurs et unités - 2012

Le 18 octobre 2012 09:36, Chantal a écrit :

    Bonjour,
    je me pose un problème "mathématique"
    On calcule µ = ln2/G  ou G = ln2/µ selon les énoncés quand on a une représentation népérienne.
    Si on a logN = f(tps) la pente de la droite représente µlog2 mais peut-on calculer alors G = log2/µ ?
    On retrouve d’ailleurs les 2 types de représentation lnN =f(t) et logN = f(t); pourquoi?
    Faut-il en privilégier une par rapport à l'autre pour la formation de nos élèves?
    Merci d'avance pour vos réponses,
    Chantal

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Le 19/10/2012 11:18, Jean Pierre a écrit :
Bonjour

Je comprends que les "G" parlent à Jean Noël vu leur diversité (jet, geai, jais et j'ai du oublier qq points...).
Si G me parle, µ me parle tout autant.

µ me permet de savoir combien de g de biomasse je peux espérer obtenir en une heure à partir d'un gramme de biomasse ou combien de bactéries je peux espérer obtenir par unité de temps à partir d'une bactérie. Un grand nombre de facteurs influencent µ, ils m'intéressent... (ils influencent aussi G)....

Mais µ me permet de calculer combien je dois attendre pour avoir N bactéries à partir de No plus facilement qu'avec G qui ne me permet qu'un encadrement en peu bestial... (combien de temps incuber pour obtenir 850 millions de bactéries à partir de 15 000 bactéries?).
Je vois donc une complémentarité entre ces deux paramètres des cultures.

Mais je pense qu'il faut revenir aux fondamentaux pour comprendre l'intérêt du logarithme népérien et de µ.
Le modèle de départ est
dN/dt = µ N
d'où on tire facilement
lnN = lnNo + µt
si t = G, alors N = 2 No et donc
ln2 = µ G
et donc
G = ln2/µ
comme l'écrit Chantal.
Mais log2 = ln2/ln10
et donc
ln2 = log2 . ln10
et donc
G = (log2.Ln10)/µ
ce qui a peu d'intérêt ici...

Mais si on repart de
lnN = lnNo + µt
et qu'on divise par ln10
on obtient
logN = logNo + ( µ / ln10 ) t
La pente vaut donc µ / ln10 et non µln2....
A t=G, N = 2 No
et donc on obtient
log2 = (µ / ln10) G
ou encore
G = (log2. ln10) / µ
Ce qui est la même chose que ci-dessus, ouf...
Donc G ne vaut pas log2/µ.

Log ou ln?
La théorie conduit au ln.
Pourquoi  passer au log?
On peut s'en passer...
mais, des "logs" en ordonnées d'une courbe de croissance qui valent 5, 6 ou 7 ça me parle...
(il y a 100 000; un million ou 10 millions de bactéries par ?)
tandis que
1,60943791
1,79175947
1,94591015
1,94591015
qui sont respectivement ln5, ln 6 et ln7
ça me parle un peu moins...
Question de génération????

Bonne lecture.
Jean Pierre

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Le 19/10/2012 22:33, Fabien a écrit :
Bonsoir

Je pense qu'avant de débattre de la légitimité du Ln ou du Log, il faut en effet repartir de la définition et de l'intérêt de la vitesse SPECIFIQUE de croissance (le mot spécifique a un vrai intérêt ici, voir ci-dessous).

Avant même de passer en Ln, la croissance est avant tout une évolution de la biomasse X (ou de la concentration cellulaire N, ou encore de la DO de la culture… ce que vous voulez).
Ainsi, la croissance X=f(t) admet une vitesse volumique de croissance, parfois appelée r'''x et définie comme toute vitesse, c'est-à-dire une dérivée première de la grandeur par rapport au temps, soit dX/dt. Cette vitesse (car c'en est une) s'exprime en g/L/h, ou en cellules/L/h (selon l'unité de X… classiquement de la biomasse donc en g/L).
Le problème qu'il y a, c'est que si je fais 2 croissances avec 2 souches différentes, ou si je fais 2 croissances de la même souche dans des conditions différentes, ce paramètre r'''x n'est pas comparable, car il dépend avant tout de la biomasse présente.

Pour s'en "débarrasser" (de l'influence de la biomasse) - et pour pouvoir alors comparer deux croissances différentes - , pourquoi ne pas tout simplement diviser ce paramètre par la biomasse X elle-même, et ainsi ramener la vitesse à l'unité de biomasse?
C'est bien le sens du "spécifique"  qui indique que ce paramètre est alors une caractéristique propre de la souche dans des conditions données, et qu'il ne dépend pas de la quantité de souche introduite dans le système (de même que les activités spécifiques, en enzymo, sont bien des activités ramenés à la masse de protéines ou d'enzyme: le but étant là aussi d'avoir un paramètre qui ne dépend pas de la masse d'enzyme mais qui est bien une caractéristique de l'enzyme elle-même, dans des conditions données).
On obtient alors une nouvelle vitesse, qui s'exprime comme suit: r'''x/X = (dX/dt)*(1/X).

Et c'est là que les mathématiques sont utiles, car si l'on a des souvenirs des dérivés et des primitives, il se trouve que (oh miracle) cette expression n'est rien d'autre que la dérivée première de la fonction Ln par rapport au temps.
Soit (dX/dt)*(1/X) = d(LnX)/dt

Et l'on retrouve alors une expression bien connue: la dérivée première de LnX par rapport au temps n'est rien d'autre que la pente de la tangente en tout point à la courbe LnX=f(t) (donc la "courbe de croissance"...).
En phase expo (qui se trouve linéarisée dans cette représentation), la courbe se "confond" avec sa tangente, et on détermine alors simplement la pente de la courbe pendant cette phase, pour calculer une grandeur appelée µ (ou aussi "Qx"…).

Ainsi µ (ou Qx) est bien définie comme d(LnX)/dt…
Je pense alors que le logarithme népérien a une vraie valeur…

Remarque: l'utilisation de la notation "Q" (avec en indice le paramètre pris en compte, par exemple X pour la biomasse) est intéressant, car il permet ensuite d'extrapoler cette notion de vitesse spécifique à toute autre variation d'un paramètre de la croissance. On définit alors les "Q" comme étant des vitesses spécifiques: on peut par exemple définir un Qs (vitesse spécifique de consommation du substrat), un Qp (vitesse spécifique de production)…
Comme précédemment, ces vitesses sont encore une fois définies comme des variations de la grandeurs par rapport au temps (donc des dérivées premières de type dS/dt ou dP/dt) et ramenées à l'unité de biomasse (X), d'où le nom "spécifique".

Fabien

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et le même un peu plus tard
Rebonsoir

Je voulais préciser deux choses supplémentaires:

1) Bien sûr, vous l'aurez compris, en divisant ma vitesse volumique r'''x (en g/L/h) par la biomasse (en g/L), je me retrouve bien avec l'unité bien connue de la vitesse spécifique, soit des h–1.

2) Le fait de repartir de la représentation la plus évidence (X=f(t)) est important pour comprendre justement l'intérêt du Ln pour linéariser.
La première représentation, la représentation la plus "naturelle" d'un phénomène qui évolue au cours du temps, est une représentation primaire évidente: le phénomène en fonction du temps. Ainsi, la représentation X=f(t) est "naturelle" (bien plus que LnX=f(t) en tout cas), puisqu'elle est directement issue des résultats expérimentaux, sans transformation!

Reprenons ensuite la vitesse définie sur cette courbe "naturelle" X=f(t): cette vitesse (r'''x) évolue au cours même de la phase expo (dX/dt est la pente de la tangente à la courbe exponentielle, elle augmente donc au cours de cette phase).
MAIS si je divise cette valeur (qui augmente) par X (qui augmente aussi… de la même façon), alors forcément j'obtiens une constante: et on retrouve alors une propriété bien connue (mais souvent plus admise que comprise) qui est que µ (qui est en fait (dX/dt)*(1/X) est constante pendant la phase expo.
OR, comme (dX/dt)*(1/X) = d(LnX)/dt , µ est la pente (constante) de la courbe qui serait tracée en Ln (et qui est alors une courbe "construite" à partir de la courbe naturelle obtenue par l'expérience): et une pente constante représente une droite… Et là encore, on retrouve la représentation bien connue de la phase exponentielle comme la partie linéaire de la courbe LnX...

Franchement, y a clairement quelque chose de super intéressant à faire avec les profs de maths, non?

Fabien